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Percy John Heawood et le théorème des 4 couleurs

Pour prolonger un des exercices faits en classe en enseignement de spécialité (TES), et aussi pour tous les curieux d’histoire des mathématiques, un petit article récent trouvé sur Blog à maths :

Le mathématicien britannique Percy John Heawood est mort le 24 janvier 1955.
Il a consacré l’essentiel de ses travaux mathématiques au Théorème des quatre couleurs qui affirme qu’il est possible de colorier n’importe quelle carte géographique en n’utilisant que quatre couleurs différentes.

Ce théorème est particulièrement intéressant pour la façon dont il a été démontré. Conjecturé en 1852 par Francis Guthrie, Alfred Kempe en a proposé une démonstration en 1879 ; il a alors fallu attendre plus de 10 ans pour que Percy John Heawood montre qu’elle n’était pas correcte. Finalement, ce n’est qu’en 1976 que deux Américains Kenneth Appel et Wolfgang Haken, affirmèrent avoir démontré le théorème des quatre couleurs. Mais pour la première fois dans l’histoire des mathématiques, il s’agissait d’une démonstration qui exigeait l’usage de l’ordinateur pour étudier 1478 cas critiques (plus de 1200 heures de calcul). Le problème de la validation du théorème est alors devenu le problème de la validation d’une part de l’algorithme d’exploration, d’autre part de sa réalisation sous forme de programme…

Les mathématiciens n’aiment pas beaucoup raconter cette histoire : une démonstration fausse qui ne dérange personne pendant 10 ans et finalement une démonstration acceptée à contre coeur car elle ne peut se passer de l’ordinateur.

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TeXoMaker

Trouvé sur Framasoft.

TeXoMaker permet de gérer ses exercices écrit en LaTeX, de créer des aperçus en PDF, de les classer suivant des critères choisis, de les filtrer, et enfin de les combiner pour créer évidemment des feuilles d’exercices.

Ce logiciel est à destination de tout enseignant souhaitant gérer des bases d’exercices au format LaTeX. L’idée est de créer une ou plusieurs bases d’exercices (une par niveau, ou une en physique et une en chimie, etc.) , de pouvoir appliquer des filtres sur des critères (mots clés) choisis par l’utilisateur ainsi que créer des feuilles d’exercices.

Le site de TeXoMaker.

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Tableau interactif

On trouve des vidéos sur l’usage du tableau interactif sur Youtube.

Rien d’exceptionnel a priori mais, comme je l’utilise tous les jours en classe, je me demande si on ne devrait pas filmer ce qui se passe en classe et balancer ça sur le net.

Il y a un ou deux ans, c’était à peine envisageable, aujourd’hui c’est le quotidien et on perd de vue le côté exceptionnel de la chose.

Le hasard faisant bien les choses, on trouve sur Framasoft, le site du logiciel libre, un article sur les tableaux numériques interactifs qui souligne la nécessité, pour l’avenir, de construire des pilotes et formats ouverts pour ne pas être pieds et poings liés aux logiciels des constructeurs de ces tableaux. C’est ici.

Bach et Möbius

Trouvé chez Inclassables mathématiques.

Et pour prolonger ou comprendre voir aussi le livre Gödel, Escher, Bach (épuisé), décrit assez pertinemment ici.

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Peut-on imiter le hasard ?

Trouvé via le mathoscope.

On trouve sur le site de l’APMEP un article assez court mais intéressant sur l’imitation du hasard. Tout démarre par une situation classique et assez connue (au moins des enseignants : c’est un classique des stages sur les statistiques de la formation continue) :

Demandez à quelques personnes de lancer cent fois une pièce de monnaie et de noter la suite des résultats des cent lancers en indiquant P pour pile et F pour face.

[...]

Demandez à quelques autres personnes de noter une suite inventée de cent P ou F imitant les résultats de cent lancers de pièce.

Comparez ensuite les résultats des deux groupes…

Comme vous le savez peut-être, c’est la liste où les P et les F sont les plus alternés qui sera l’œuvre d’un être humain, le hasard, lui, fournit des séries consécutives de P ou de F en général assez longues.

L’intérêt de l’article est que l’auteur s’attache, par le biais des graphes probabilistes (enseignement de spécialité en TES) à obtenir la probabilité d’obtenir, par le hasard, des listes d’au moins n faces identiques consécutives. Ainsi, par exemple, sur une série de 100 lancers, il y a plus d’une chance sur deux d’obtenir au moins une séquence FFFFFFF ou PPPPPPP.

Pour lire l’article c’est ici.
Je le mets aussi dans la bibliothèque du site.

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De l’enseignement de la géométrie

Trouvé sur le mathoscope.

Le portail des IREM met en ligne un document de Rudolf BKOUCHE intitulé De l'enseignement de la géométrie qui devrait intéresser tous les professeurs de mathématiques et dont voici le début de l’introduction :

Toute science a deux objectifs, celui de la construction de l’intelligibilité du monde et celui de la résolution des problèmes. Loin de s’opposer, ces deux objectifs sont complémentaires, c’est pour résoudre les problèmes que l’on rencontre que l’on est conduit à construire l’intelligibilité du monde, et c’est la construction de cette intelligibilité qui permet en retour de résoudre ces problèmes. Cette complémentarité doit apparaître dans l’enseignement d’une science et négliger l’un de ces objectifs revient à mutiler cet enseignement. Si la construction de l’intelligibilité se traduit pas l’élaboration d’un discours cohérent, la réduction de l’enseignement au seul discours de la science conduit à ce que nous avons appelé l’illusion langagière dont l’un des exemples emblématiques reste celui de la réforme dite des mathématiques modernes, mais la réduction de l’enseignement à la seule résolution des problèmes conduit au développement d’un activisme pédagogique qui réduit l’enseignement à un ensemble d’activités disparates comme l’a montré la contre-réforme qui a succédé à la réforme des mathématiques modernes et qui reste présente comme le montrent les programmes actuels. Au volontarisme de la réforme des années soixante-dix s’appuyant sur la notion de structure, on a opposé des activités à tout va, cet activisme pédagogique étant renforcé par un usage irraisonné de l’informatique, celle-ci se réduisant à un simple gadget. Cet activisme pédagogique s’est développé au détriment de toute structuration du savoir, occultant ainsi le caractère hypothético-déductif des mathématiques et s’appuyant sur une interprétation quelque peu simpliste de ce que l’on peut appeler le caractère expérimental des mathématiques. La géométrie élémentaire est née de deux grandes problématiques, d’une part la problématique de l’égalité, d’autre part la problématique de la forme. Ces problématiques fondatrices ont été oubliées avec la réforme des mathématiques modernes. Si l’oubli de ces problématiques avait une certaine cohérence lors de la réforme dans la mesure où celle-ci mettait en avant l’aspect structural des mathématiques, la contre-réforme, au nom d’une modernité mal comprise, n’a pas osé revenir à ces problématiques, se réfugiant dans l’étude de quelques situations dites concrètes, lesquelles, selon la vulgate constructiviste, devraient permettre aux élèves de reconstruire le savoir géométrique. Comme nous l’avons déjà dit, la fascination devant l’informatique ne pouvait que renforcer cette tendance.

Directement dans la biblothèque du site donc.

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Le théorème de Fermat : documentaire télé

Trouvé sur ABCmaths.

La version française du film de Simon Singh qui suit Andrew Wiles dans sa recherche de la preuve du Grand Théorème de Fermat (Fermat’s Last Theorem) énoncé au XVIIè siècle. Très bien réalisée, cette vulgarisation s’adresse à tous les curieux qu’ils soient doués en maths ou non.

Fermat prétendait que l’équation x^n + y^n = z^n n’admettait pas de solutions en entiers non nuls si n est plus grand que 2, sans en apporter la preuve qu’il prétendait détenir.
Gauss, Euler, Galois et tant d’autres ont cherché à l’obtenir et n’ont pas réussi.
Ce documentaire retrace l’histoire d’une recherche qui a duré plus de 300 ans.


Le theoreme de Fermat P1
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Le theoreme de Fermat P2
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Le theoreme de Fermat P3
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Le theoreme de Fermat P4
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